AXIOMA · Kuchařka 06: Derivace a průběh funkce

Derivování — tabulka a pravidla

Rozpoznej strukturu (součet / součin / podíl) a použij tabulku derivací.

▶ ✓

Postup

Uprav funkci do tvaru, který umíš derivovat: odmocniny a zlomky převeď na mocniny $x^a$ (např. $\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\tfrac{1}{\sqrt[3]{x^5}}=x^{-5/3}$).
Použij tabulku derivací na jednotlivé členy.
Spoj pravidly: součet člen po členu (konstanta $\to 0$), součin $(fg)'=f'g+fg'$, podíl $\left(\tfrac{f}{g}\right)'=\tfrac{f'g-fg'}{g^2}$.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$f(x)=x^3+2\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{x^5}}$

Převedeme na mocniny: $f(x)=x^3+2x^{1/2}-3x^{-5/3}$.

Derivujeme člen po členu pravidlem $(x^a)'=a\,x^{a-1}$:

Vysledek

$f'(x)=3x^2+x^{-1/2}+5x^{-8/3}=3x^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{5}{\sqrt[3]{x^8}}$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$g(x)=\sin x-2\cos x+\pi$

Součet/rozdíl derivujeme po členu, $\pi$ je konstanta $\Rightarrow$ její derivace je $0$.

Vysledek

$g'(x)=\cos x+2\sin x$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$h(x)=\ln x\cdot x^4$ (součin)

Pravidlo součinu $(fg)'=f'g+fg'$ s $f=\ln x,\ g=x^4$:

$$h'(x)=\tfrac{1}{x}\cdot x^4+\ln x\cdot 4x^3$$

Vysledek

$h'(x)=x^3+4x^3\ln x=x^3(1+4\ln x)$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$i(x)=\dfrac{2e^x}{\arcsin x}$ (podíl)

Pravidlo podílu s $f=2e^x,\ g=\arcsin x$, $g'=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

Vysledek

$i'(x)=\dfrac{2e^x\cdot\arcsin x-2e^x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2}$

Řetízkové pravidlo (složená funkce)

Derivuj vnější funkci a vynásob deriva&cí vnitřku.

▶ ✓

Postup

Urči vnější funkci $f$ a vnitřní funkci $g$.
Použij $\big[f(g(x))\big]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$: derivuj vnější (vnitřek nech) a vynásob derivací vnitřku.
U více vrstev pokračuj směrem dovnitř, derivace se násobí.

Pozor na záměnu

$\cos x^2$ je složená funkce (vnitřek $x^2$) $\Rightarrow (\cos x^2)'=-\sin x^2\cdot 2x$.
$(\cos x)^2$ je mocnina (vnitřek $\cos x$) $\Rightarrow \big((\cos x)^2\big)'=2\cos x\cdot(-\sin x)$. Nezaměňuj je!

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$y=e^{\sin 2x^3}$

Vrstvy zvenčí dovnitř: $e^{(\cdot)}$, $\sin(\cdot)$, $2x^3$.

$$y'=e^{\sin 2x^3}\cdot\cos 2x^3\cdot 6x^2$$

Vysledek

$y'=6x^2\cos(2x^3)\,e^{\sin 2x^3}$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$y=\mathrm{arctg}(\cos x^2)$

Vnější $\mathrm{arctg}$, vnitřek $\cos x^2$ (sám složený):

$$y'=\frac{1}{1+(\cos x^2)^2}\cdot(-\sin x^2)\cdot 2x$$

Vysledek

$y'=\dfrac{-2x\sin x^2}{1+\cos^2 x^2}$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$y=\dfrac{1}{\ln x}=(\ln x)^{-1}$

Mocnina se záporným exponentem, vnitřek $\ln x$:

$$y'=-1\cdot(\ln x)^{-2}\cdot\tfrac{1}{x}$$

Vysledek

$y'=-\dfrac{1}{x\ln^2 x}$

L'Hospitalovo pravidlo

Neurčitý typ $\tfrac00$ nebo $\tfrac{\infty}{\infty}$ → derivuj zvlášť čitatel a jmenovatel.

▶ ✓

Pravidlo

Je-li $\lim_{x\to c}\tfrac{f(x)}{g(x)}$ typu $\tfrac00$ nebo $\tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$, pak $\lim_{x\to c}\tfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\tfrac{f'(x)}{g'(x)}$ (pokud limita vpravo existuje).

Postup

Ověř typ: dosazením musí vyjít $\tfrac00$ nebo $\tfrac{\infty}{\infty}$. Jinak pravidlo nepoužívej.
Derivuj zvlášť čitatel a zvlášť jmenovatel (ne jako podíl!).
Dosaď znovu. Pokud opět neurčitý typ, postup zopakuj.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}$

Dosazení: $\tfrac{\ln 1}{0}=\tfrac00$ $\Rightarrow$ L'Hospital.

$$\lim_{x\to1}\frac{(\ln x)'}{(x-1)'}=\lim_{x\to1}\frac{1/x}{1}=\frac{1}{1}$$

Vysledek

$=1$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{2x^4-x}$

Dosazení: $\tfrac{\sin 0}{0}=\tfrac00$ $\Rightarrow$ L'Hospital.

$$\lim_{x\to0}\frac{\cos 5x\cdot 5}{8x^3-1}=\frac{5}{-1}$$

Vysledek

$=-5$

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

$\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin 2x}$

Dosazení: $\tfrac{\cos(\pi/2)}{\sin 2\pi}=\tfrac00$ $\Rightarrow$ L'Hospital.

$$\lim_{x\to\pi}\frac{-\sin\frac{x}{2}\cdot\frac12}{\cos 2x\cdot 2}=\frac{-\frac12}{2}$$

Vysledek

$=-\dfrac{1}{4}$

Monotonie — rostoucí a klesající

Zna&ménko první derivace: $f'>0$ rostoucí, $f'<0$ klesající.

▶ ✓

Postup

Urči $D(f)$ a spočítej $f'(x)$.
Najdi nulové body $f'$ a body nespojitosti — ty rozdělí osu na intervaly.
Na znaménkové ose urči znaménko $f'$ v každém intervalu: $f'>0$ → rostoucí, $f'<0$ → klesající.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Urči intervaly monotonie $f(x)=(x^2-x)\,e^x$.

Součin: $f'(x)=(2x-1)e^x+(x^2-x)e^x=e^x(x^2+x-1)$.

$e^x>0$ vždy, takže znaménko určuje $x^2+x-1$. Nulové body $x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$.

Znaménková osa (parabola otevřená nahoru):

	$\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)$	$\left(\frac{-1-\sqrt5}{2},\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)$	$\left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)$
$f'(x)$	+	−	+
vysledek	rostoucí	klesající	rostoucí

Vysledek

Rostoucí na krajních intervalech, klesající mezi kořeny $\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Urči intervaly monotonie $f(x)=x\ln x$.

$D(f)=(0,\infty)$. Součin: $f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\tfrac{1}{x}=\ln x+1$.

$f'>0 \Leftrightarrow \ln x>-1 \Leftrightarrow x>\tfrac{1}{e}$.

Vysledek

Klesající na $\left(0,\tfrac{1}{e}\right)$, rostoucí na $\left(\tfrac{1}{e},\infty\right)$.

Lokální extrémy

Stacionární body $f'=0$, klasifikace přes $f''$ (nebo změnu zna&ménka $f'$).

▶ ✓

Postup

Najdi stacionární body: vyřeš $f'(x)=0$ (a najdi body, kde $f'$ neexistuje).
Klasifikuj: dosaď stacionární bod do $f''$. $f''(c)>0$ → minimum, $f''(c)<0$ → maximum.
Alternativa: změna znaménka $f'$ z $+$ na $-$ → maximum, z $-$ na $+$ → minimum.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Najdi lokální extrémy $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}$.

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Zapíšeme $f(x)=x^{-2}-x^{-1}$.

$f'(x)=-2x^{-3}+x^{-2}=\dfrac{-2+x}{x^3}$. Stacionární bod: $-2+x=0\Rightarrow x=2$.

$f''(x)=6x^{-4}-2x^{-3}$, dosadíme: $f''(2)=\dfrac{6}{16}-\dfrac{2}{8}=\dfrac{2}{16}=\dfrac18>0$.

Vysledek

V bodě $x=2$ je lokální minimum $\left(f''(2)>0\right)$.

Globální extrémy na intervalu

Porovnej hodnoty ve stacionárních bodech a v krajích $\langle a,b\rangle$.

▶ ✓

Postup

Najdi stacionární body uvnitř $\langle a,b\rangle$ (vyřeš $f'=0$).
Přidej krajní body $a$ a $b$.
Dosaď všechny kandidáty do $f$ a porovnej hodnoty — největší je globální maximum, nejmenší globální minimum.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Najdi globální extrémy $f(x)=e^{2x^2-x^4}$ na $\langle -2,1\rangle$.

$f'(x)=e^{2x^2-x^4}\cdot(4x-4x^3)=e^{2x^2-x^4}\cdot 4x(1-x)(1+x)$. Stacionární body $x=0,\,1,\,-1$ (uvnitř i na kraji).

Kandidáti: $x=-2$ (kraj), $-1,\,0,\,1$. Dosadíme do $f$:

$f(-2)=e^{8-16}=e^{-8}$, $f(-1)=e^{2-1}=e$, $f(0)=e^0=1$, $f(1)=e^{2-1}=e$.

Vysledek

Globální maximum $e$ v bodech $x=\pm1$; globální minimum $e^{-8}$ v bodě $x=-2$.

Konvexnost, konkávnost, inflexní body

Zna&ménko druhé derivace: $f''>0$ konvexní, $f''<0$ konkávní.

▶ ✓

Postup

Urči $D(f)$ a spočítej $f''(x)$.
Najdi nulové body $f''$ a body nespojitosti — rozděl osu na intervaly.
Znaménková osa $f''$: $f''>0$ → konvexní, $f''<0$ → konkávní. Inflexní bod = kde $f''$ mění znaménko.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Vyšetři konvexnost $f(x)=\ln x+\dfrac{x^3}{3}-x$.

$D(f)=(0,\infty)$. $f'(x)=\tfrac1x+x^2-1$, $f''(x)=-\tfrac{1}{x^2}+2x=\dfrac{-1+2x^3}{x^2}$.

$f''>0 \Leftrightarrow 2x^3>1 \Leftrightarrow x>\sqrt[3]{\tfrac12}$.

Vysledek

Konkávní na $\left(0,\sqrt[3]{\tfrac12}\right)$, konvexní na $\left(\sqrt[3]{\tfrac12},\infty\right)$; inflexní bod $x=\sqrt[3]{\tfrac12}$.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Vyšetři konvexnost $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2}$.

$f(x)=x^{-1}+2x^{-2}$, $D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

$f'(x)=-x^{-2}-4x^{-3}$, $f''(x)=2x^{-3}+12x^{-4}=\dfrac{2x+12}{x^4}$.

$x^4>0$, takže rozhoduje $2x+12$: $f''>0\Leftrightarrow x>-6$.

	$(-\infty,-6)$	$(-6,0)$	$(0,\infty)$
$f''(x)$	−	+	+
vysledek	konkávní	konvexní	konvexní

Vysledek

Konkávní na $(-\infty,-6)$, konvexní na $(-6,0)$ a $(0,\infty)$; inflexní bod $x=-6$.

Asymptoty grafu funkce

Svislé z bodů nespojitosti, šikmá $y=kx+q$ ze dvou limit.

▶ ✓

Vzorce pro asymptoty

Svislá $x=a$: je-li $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$.
Šikmá $y=kx+q$: $k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, $q=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)$. Je-li $k=0$, jde o vodorovnou $y=q$.

Postup

Svislé asymptoty: v bodech nespojitosti a krajích $D(f)$ spočítej jednostranné limity. Kde vyjde $\pm\infty$, je svislá asymptota $x=a$.
Šikmá/vodorovná: spočítej $k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$. Je-li $k$ konečné, dopočítej $q=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)$. Asymptota je $y=kx+q$ (pro $k=0$ vodorovná).
Počítej $+\infty$ a $-\infty$ zvlášť — asymptoty se mohou lišit.

Priklad Z VÝKLADU

Zadani

Najděte asymptoty funkce $f(x)=\dfrac{2x^2-3}{x-1}$.

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Svislá: $\lim_{x\to1^+}f=-\infty$, $\lim_{x\to1^-}f=+\infty$ → svislá asymptota $x=1$.

Šikmá: $k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2-3}{x(x-1)}=2$; $q=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{2x^2-3}{x-1}-2x\right)=\lim\dfrac{2x-3}{x-1}=2$.

(Lze i dělením: $\dfrac{2x^2-3}{x-1}=2x+2-\dfrac{1}{x-1}$, zbytek $\to 0$.)

Vysledek

Svislá asymptota $x=1$; šikmá asymptota $y=2x+2$ (pro $x\to+\infty$ i $-\infty$).

Vyšetření průběhu funkce — celý postup

Slož všechno dohromady do jednoho algoritmu.

▶ ✓

Algoritmus

Definiční obor $D(f)$, případně sudost/lichost a průsečíky s osami.
První derivace $f'$: znaménková osa → intervaly monotonie a lokální extrémy.
Druhá derivace $f''$: znaménková osa → konvexnost/konkávnost a inflexní body.
Limity v krajních bodech $D(f)$ (a v $\pm\infty$) → asymptoty.
Náčrt grafu ze všech zjištěných informací.

Spojení s ostatními moduly

Krok 4 využívá limity (modul 05): chování funkce v krajích $D(f)$ a v nekonečnech. Kroky 2–3 stojí na derivacích z kapitol 1–3 této kuchařky.