AXIOMA · Kuchařka 05: Limity posloupností a funkcí

Limita posloupnosti — výpočet

„Vypočtěte limitu posloupnosti“ → vytkni nejrychleji rostoucí (dominantní) člen.

▶ ✓

Postup

Urči dominantní člen — ten, který roste nejrychleji. Pořadí: $\ln n \;\ll\; n^k \;\ll\; a^n\,(a>1) \;\ll\; n!$.
Vytkni dominantní člen z čitatele i jmenovatele a zkrať ho.
Ke každému zbylému členu si napiš jeho limitu (šipku) — členy nižšího řádu jdou k nule. Zůstane poměr koeficientů.
U rozdílu odmocnin (typ $\infty-\infty$) vytkni $\sqrt{n}$ a vtáhni ho pod odmocninu.

Priklad Z TESTU

Zadani

Vypočítejte $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot4^n - 7^n}{4\cdot3^n + 2\cdot7^n}$.

Dominantní člen je $7^n$ (sedmička roste nejrychleji). Vytkneme $7^n$ nahoře i dole:

$$\frac{7^n\left(3\cdot\left(\frac{4}{7}\right)^n - 1\right)}{7^n\left(4\cdot\left(\frac{3}{7}\right)^n + 2\right)}=\frac{3\left(\frac{4}{7}\right)^n - 1}{4\left(\frac{3}{7}\right)^n + 2}$$

Zlomky se základem menším než 1 jdou k nule: $\left(\tfrac{4}{7}\right)^n \to 0$, $\left(\tfrac{3}{7}\right)^n \to 0$.

Vysledek

$\displaystyle \to \frac{3\cdot 0 - 1}{4\cdot 0 + 2} = -\frac{1}{2}$

Priklad

Zadani

Vypočítejte $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2\sqrt{n}-\sqrt{8n-6}\right)$.

Typ $\infty-\infty$. Vytkneme $\sqrt{n}$ a druhý člen vtáhneme pod odmocninu:

$$\sqrt{n}\left(2-\sqrt{\tfrac{8n-6}{n}}\right)=\sqrt{n}\left(2-\sqrt{8-\tfrac{6}{n}}\right)$$

Šipky: $\sqrt{n}\to\infty$, $\tfrac{6}{n}\to 0$, takže závorka $\to 2-\sqrt{8}=2-2\sqrt2 < 0$.

Vysledek

$\displaystyle \infty\cdot(\text{záporné číslo}) = -\infty$

Limita posloupnosti s parametrem

„Určete parametr $a$, aby limita byla $\pm\infty$“ → uprav výraz a polož podmínku na parametr.

▶ ✓

Postup

Racionální výraz (zlomek/součet): sluč do jednoho zlomku, vytkni nejvyšší mocninu $n$. O výsledku rozhoduje znaménko vedoucího koeficientu.
Geometrická posloupnost $q^n$: $q^n\to+\infty \iff q>1$; $q^n\to 0 \iff |q|<1$; pro $q\le -1$ limita neexistuje.
Z požadované limity polož podmínku na parametr a vyřeš nerovnici (kvadratickou přes rozklad a číselnou osu).

Priklad Z TESTU

Zadani

Určete všechny $a\in\mathbb{R}$, pro které platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(4a^2-24)^n = \infty$.

Geometrická posloupnost s kvocientem $q=4a^2-24$. Jde k $+\infty$ právě když $q>1$:

$$4a^2-24>1 \;\Rightarrow\; 4a^2-25>0 \;\Rightarrow\; (2a-5)(2a+5)>0$$

Z číselné osy (parabola otevřená nahoru, kořeny $\pm\tfrac52$) je výraz kladný vně kořenů.

Vysledek

$a \in \left(-\infty,\,-\tfrac{5}{2}\right)\,\cup\,\left(\tfrac{5}{2},\,\infty\right)$

Priklad

Zadani

Určete $a$, pro které $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(an-\frac{n^2+1}{3n}\right)=-\infty$.

Sloučíme do jednoho zlomku a vytkneme $n^2$:

$$\frac{3an^2-n^2-1}{3n}=\frac{n^2(3a-1)-1}{3n}$$

Chování určuje vedoucí člen $\tfrac{n^2(3a-1)}{3n}=\tfrac{n(3a-1)}{3}$. Ten jde k $-\infty$, právě když $3a-1<0$.

Vysledek

$3a-1<0 \;\Rightarrow\; a < \tfrac{1}{3}$

Limita funkce „ve zlomku“

„Vypočtěte limitu funkce“ → nejdřív dosaď; typ $A/0$ → $\pm\infty$ podle testovací hodnoty.

▶ ✓

Postup

Zkus dosadit bod (spojité funkce to dovolují). Vyjde-li číslo → hotovo.
Vyjde-li $\frac{A}{0}$ s $A\neq0$: je to $\pm\infty$. Znaménko urči dosazením testovací hodnoty těsně u bodu (např. místo $4$ dosaď $4{,}0001$) a sleduj znaménko jmenovatele.
U $x\to\pm\infty$ vytkni nejvyšší mocninu $x$ (rozhoduje poměr stupňů čitatele a jmenovatele).
Vyjde-li $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ → uprav (krať), nebo použij L'Hospitalovo pravidlo.

Pozor na strany

Pokud se jednostranné limity liší (jednou $+\infty$, podruhé $-\infty$), oboustranná limita neexistuje ($\times$).

Priklad Z TESTU

Zadani

Vypočítejte $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2}{\ln x}$.

Dosadíme $x=1$: čitatel $1^2=1$, jmenovatel $\ln 1 = 0$. Typ $\frac{A}{0}$ → musíme zkoumat strany.

Zprava ($x=1{,}0001$): $\ln x \to 0^+$, takže $\dfrac{1}{0^+}=+\infty$.

Zleva ($x=0{,}9999$): $\ln x \to 0^-$, takže $\dfrac{1}{0^-}=-\infty$.

Vysledek

Jednostranné limity se liší → $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2}{\ln x}$ neexistuje

Složená funkce a limity v nevlastních bodech

Složená funkce → spočti limitu vnitřku, pak na ni aplikuj vnější spojitou funkci.

▶ ✓

Postup

Urči limitu vnitřní funkce (u podílu rozhoduje stupeň: vyšší jmenovatel → $0$, stejný → poměr koeficientů, vyšší čitatel → $\pm\infty$).
Na získanou hodnotu aplikuj vnější spojitou funkci. Pomůže přehled funkcí (kapitola 07).
Klíčové hodnoty: $e^{+\infty}=\infty$, $e^{-\infty}=0$; $\ln(0^+)=-\infty$, $\ln(\infty)=\infty$; $\arctan(\pm\infty)=\pm\tfrac{\pi}{2}$; $\mathrm{arccotg}(-\infty)=\pi$, $\mathrm{arccotg}(+\infty)=0$, $\mathrm{arccotg}(0)=\tfrac{\pi}{2}$.

Priklad Z TESTU

Zadani

Vypočítejte $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\mathrm{arccotg}\!\left(\frac{2x+3}{x^2-1}\right)$.

Vnitřní funkce $\frac{2x+3}{x^2-1}$: jmenovatel má vyšší stupeň (2 > 1), proto vnitřek $\to 0$.

Vnější $\mathrm{arccotg}$ je spojitá, dosadíme limitu vnitřku: $\mathrm{arccotg}(0)$.

Z grafu $\mathrm{arccotg}$: $\mathrm{arccotg}(0)=\tfrac{\pi}{2}$.

Vysledek

$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

Priklad

Zadani

Vypočítejte $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x-3}{\mathrm{arctg}\,x}$.

Čitatel: $e^x \to 0$ (pro $x\to-\infty$), takže $e^x-3 \to -3$.

Jmenovatel: $\mathrm{arctg}\,x \to -\tfrac{\pi}{2}$ (pro $x\to-\infty$).

Dosadíme: $\dfrac{-3}{-\frac{\pi}{2}}$.

Vysledek

$\displaystyle \frac{-3}{-\frac{\pi}{2}} = \frac{6}{\pi}$

Limity v krajních bodech $D(f)$

„Vypočtěte limity funkce v krajních bodech $D(f)$“ → najdi $D(f)$ a počítej limity v jeho okrajích.

▶ ✓

Postup

Urči definiční obor $D(f)$ (vyřaď dělení nulou, log nekladných, odmocninu ze záporu, ...).
Krajní body = $\pm\infty$ a body, kde funkce „chybí“ (okraje intervalů $D(f)$).
V každém krajním bodě spočti limitu; u bodů vynechání i jednostranně (testovací hodnota pro znaménko).

Priklad Z TESTU

Zadani

Vypočítejte limity funkce $\displaystyle f(x)=\frac{1-x^2}{(2-x)^2}$ v krajních bodech $D(f)$.

Jmenovatel $(2-x)^2=0$ pro $x=2$, takže $D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Krajní body: $-\infty,\ 2,\ +\infty$.

$x\to\pm\infty$: vytkneme $x^2$ → $\dfrac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}{x^2\left(\frac{4}{x^2}-\frac{4}{x}+1\right)} \to \dfrac{-1}{1}=-1$.

$x\to 2$: čitatel $1-4=-3$, jmenovatel $(2-x)^2\to 0^+$ (mocnina je kladná). Typ $\dfrac{-3}{0^+}$.

Vysledek

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1$; $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=-\infty$

Bolzanova věta — zna&ménka

„Pomocí Bolzanovy věty“ → spojitá funkce mění zna&ménko jen v nulových bodech a bodech nespojitosti.

▶ ✓

Bolzanova věta

Je-li $f$ spojitá na $\langle a,b\rangle$ a $f(a)\cdot f(b)<0$, pak existuje $c\in(a,b)$ takové, že $f(c)=0$.
Důsledek: mezi sousedními nulovými body / body nespojitosti má spojitá funkce stálé znaménko.

Postup

1. Definiční obor $D(f)$ — kde je výraz definovaný.
2. Nulové body (hledáme „c“) — polož čitatel = 0 a najdi i body, kde je jmenovatel = 0.
3. Rozděl na intervaly a sestav znaménkovou tabulku: řádek pro každý činitel, dole součin znamének.

Priklad Z TESTU

Zadani

Určete, kde je výraz $\displaystyle\frac{\arcsin\frac{x}{6}}{(x-2)\cdot\ln x} > 0$.

1. $D(f)$: $\arcsin\tfrac{x}{6}$ potřebuje $-6\le x\le 6$; $\ln x$ potřebuje $x>0$; jmenovatel $\neq 0$, tedy $x\neq 2$ a $x\neq 1$. Celkem $D(f)=(0,6\rangle\setminus\{1;2\}$.

2. Nulové body: $\arcsin\tfrac{x}{6}=0 \Rightarrow x=0$; $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $\ln x=0 \Rightarrow x=1$. Uvnitř $D(f)$ dělí osu body $1$ a $2$.

3. Znaménková tabulka na intervalech $(0,1),\ (1,2),\ (2,6\rangle$:

	(0, 1)	(1, 2)	(2, 6⟩
$\arcsin\frac{x}{6}$	+	+	+
$x-2$	−	−	+
$\ln x$	−	+	+
součin	+	−	+

Vysledek

Výraz je kladný na $\;x\in(0,\,1)\,\cup\,(2,\,6\rangle$

Přehled funkcí — tahák pro limity

Klíčové hodnoty elementárních funkcí, které se při výpočtu limit pořád hodí.

▶ ✓

Exponenciála a logaritmus

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^x=\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln x=\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$, $\ln 1 = 0$.

Cyklometrické funkce (arcus)

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\mathrm{arctg}\,x=\pm\tfrac{\pi}{2}$; $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\mathrm{arccotg}\,x=\pi$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{arccotg}\,x=0$, $\mathrm{arccotg}(0)=\tfrac{\pi}{2}$.
Obory hodnot: $\arcsin,\arctan \in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$; $\arccos\in\langle0,\pi\rangle$; $\mathrm{arccotg}\in(0,\pi)$.

Definiční obory — na co dát pozor

$\sqrt{\text{výraz}}$: výraz $\ge 0$. $\frac{1}{\text{výraz}}$: výraz $\neq 0$. $\log(\text{výraz})$: výraz $>0$. $\arcsin(\text{výraz}),\arccos(\text{výraz})$: $-1\le\text{výraz}\le1$.

	(0, 1)	(1, 2)	(2, 6⟩
\(\arcsin\frac{x}{6}\)	+	+	+
\(x-2\)	−	−	+
\(\ln x\)	−	+	+
součin	+	−	+

Limity — posloupností a funkcí