AXIOMA · Kuchařka 04: Matice — determinanty a vlastní čísla

01

Determinant — regulárnost matice s parametrem

„Pro které hodnoty parametru je matice regulární?" → det ≠ 0 → regulární; det = 0 → singulární

▶ ✓

Klíčový vztah

Matice je singulární (neregulární) právě tehdy, když $\det A = 0$.
Matice je regulární (invertibilní) právě tehdy, když $\det A \neq 0$.

Postup

Vypočítej determinant matice pomocí Sarrusova pravidla (3×3).
Výsledný výraz (obsahující parametr) polož roven nule pro singulární matici, nebo neroven nule pro regulární.
Vyřeš rovnici — výsledkem jsou konkrétní hodnoty parametru.

Příklad Z TESTU

Zadání

Pomocí výpočtu determinantu rozhodněte, pro které hodnoty parametru $a$ je matice regulární: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & a \\ -2 & 2 & 4 \\ 1 & a & -2 \end{pmatrix}$$

1

Výpočet determinantu (Sarrusovo pravidlo): $$\det A = 2\cdot2\cdot(-2) + 3\cdot4\cdot1 + a\cdot(-2)\cdot a - 1\cdot2\cdot a - a\cdot4\cdot2 - (-2)\cdot3\cdot(-2)$$ $$= -8 + 12 - 2a^2 - 2a - 8a - 12 = -2a^2 - 10a - 8$$

2

Pro regulární matici musí $\det A \neq 0$: $$-2a^2 - 10a - 8 \neq 0 \implies a^2 + 5a + 4 \neq 0$$

3

Rozložím na součin: $$(a + 4)(a + 1) \neq 0 \implies a \neq -4 \quad \text{a zároveň} \quad a \neq -1$$

Výsledek

Matice je regulární pro $a \in \mathbb{R} \setminus \{-4;\,-1\}$.

02

Determinant 4×4 — rozvoj podle řádku/sloupce

Determinant 4×4 matice → vyber řádek nebo sloupec s nejvíce nulami → rozvoj snižuje problém na det 3×3

▶ ✓

Postup (Laplaceův rozvoj)

Vyber řádek nebo sloupec s nejvíce nulami — to minimalizuje počet dílčích determinantů 3×3.
Samotný algoritmus popisuji pečlivě ve videu. Je to srozumitelnější, než to vypisovat.

Schéma znamének $(-1)^{i+j}$

          $$\begin{pmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{pmatrix}$$
          Prvek na pozici \((i,j)\) dostane znaménko \(+\) pokud \(i+j\) je sudé, \(-\) pokud liché.
        

Příklad Z TESTU

Zadání

Vypočítejte determinant: $$\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

1

Rozvíjím podle 2. sloupce — má dvě nuly (řádky 1 a 3). Nenulové prvky: $a_{22} = 2$ a $a_{42} = 2$. $$= (-1)^{2+2} \cdot 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} + (-1)^{4+2} \cdot 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

2

Výpočet prvního dílčího determinantu (Sarrus): $$\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} = 4+0+9 - 0-6-6 = 13-12 = 1$$

3

Výpočet druhého dílčího determinantu (Sarrus): $$\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0+9+3 - 0-6-3 = 12-9 = 3$$

4

Složím výsledek: $$= (+1)\cdot 2 \cdot 1 + (+1) \cdot 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$$

Výsledek

$\det A = 8$

03

Cramerovo pravidlo

„Cramerovým pravidlem vypočítejte x ze soustavy" → det soustavy, nahraď každý sloupec pravou stranou, $x_i = \det A_i / \det A$

▶ ✓

Postup

Zapiš matici soustavy $A$ a vypočítej $\det A$. Pokud $\det A = 0$, Cramerovo pravidlo nelze použít.
Nahraď sloupec, který odpovídá neznámé, kterou chceš spočítat, sloupcem tvořeným „výsledky" (pravou stranou rovnice).
Vypočítej determinant „nové matice" $\det A_i$ a urči: $\displaystyle x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$.

Příklad Z TESTU

Zadání

Cramerovým pravidlem řešte soustavu: $$x_1 + x_2 - x_3 = 0 \qquad 2x_1 + x_2 - x_3 = 1 \qquad 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$$

1

Matice soustavy a její determinant (Sarrus): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$ $$\det A = 1\cdot1\cdot(-3) + 1\cdot(-1)\cdot4 + (-1)\cdot2\cdot2 - 4\cdot1\cdot(-1) - 2\cdot(-1)\cdot1 - (-3)\cdot2\cdot1$$ $$= -3-4-4-(-4-2-6) = -11+12 = 1$$

2

Matice $A_1$ — 1. sloupec nahrazen $\vec{b} = (0;\,1;\,0)$: $$A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad \det A_1 = -2+3 = 1$$

3

Matice $A_2$ — 2. sloupec nahrazen $\vec{b}$: $$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -3 \end{pmatrix}, \quad \det A_2 = -3+4 = 1$$ Matice $A_3$ — 3. sloupec nahrazen $\vec{b}$: $$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \det A_3 = 4-2 = 2$$

4

Cramerovo pravidlo $x_i = \det A_i / \det A$: $$x_1 = \frac{1}{1} = 1, \quad x_2 = \frac{1}{1} = 1, \quad x_3 = \frac{2}{1} = 2$$

Výsledek

$\vec{x} = (1;\;1;\;2)$

04

Charakteristická čísla matice (vlastní čísla)

„Určete charakteristická čísla matice" → charakteristická rovnice det(A − λI) = 0; řešením mohou být i komplexní čísla

▶ ✓

Klíčový vztah

Charakteristická čísla (vlastní čísla) matice $A$ jsou řešení charakteristické rovnice: $$\det(A - \lambda I) = 0$$

Postup

Od matice $A$ odečti $\lambda I$ (tj. odečti $\lambda$ od každého prvku na hlavní diagonále).
Vypočítej determinant výsledné matice — dostaneš polynom v $\lambda$.
Polynom polož roven nule a vyřeš rovnici. Pozor: řešením mohou být i komplexní čísla.

Příklad Z TESTU

Zadání

Určete charakteristická čísla matice: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -2 \\ -4 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

1

Odečtu $\lambda I$ od $A$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ -4 & 1-\lambda & -2 \\ -4 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}$$

2

Vypočítám determinant rozvojem podle 1. řádku (druhý a třetí prvek jsou nuly): $$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \cdot \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 \\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}$$ $$= (1-\lambda)\bigl[(1-\lambda)(-1-\lambda) - 0\bigr] = (1-\lambda)^2 \cdot (-1-\lambda)$$

3

Postavím rovnici $(1-\lambda)^2 \cdot (-1-\lambda) = 0$: $$(1-\lambda)^2 = 0 \implies \lambda = 1 \quad(\text{dvojnásobné})$$ $$-1-\lambda = 0 \implies \lambda = -1$$

Výsledek

Charakteristická čísla: $\lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = 1$ (dvojnásobné)

Typické chyby

Odečítat $\lambda$ jen od části diagonálních prvků — $\lambda$ se odečítá od každého diagonálního prvku bez výjimky.
Předpokládat, že výsledkem jsou jen reálná čísla — u 2×2 matic s diskriminantem $< 0$ vyjdou komplexní vlastní čísla.