AXIOMA · Kuchařka 03: Matice

Inverzní matice

„Určete inverzní matici a proveďte zkoušku" → Gauss-Jordan na (A|I) → (I|A⁻¹), ověř A·A⁻¹ = I

▶ ✓

Postup

Zapiš matici do schématu (A | I), kde I je jednotková matice téhož řádu.
Prováděj řádkové úpravy tak, aby vlevo vznikla jednotková matice (Gauss-Jordan metoda). Vpravo se automaticky vytvoří A⁻¹.
Ověření: vypočítej A · A⁻¹ — výsledkem musí být jednotková matice I.

Příklad Z TESTU

Zadání

Určete inverzní matici k matici $A$ a proveďte zkoušku: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Zapíšu schéma (A | I) a eliminuji pod pivotem v 1. sloupci: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \begin{array}{r}\phantom{\text{I}-\text{III}}\\-2\cdot\text{I}+\text{II}\\\text{I}-\text{III}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

Eliminuji pod pivotem v 2. sloupci: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{II}+\text{III}}\\\text{II}+\text{III}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right)\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{II}+\text{III}}\\\text{II}+\text{III}\end{array}}$$

Eliminuji nad pivotem v 3. sloupci: $$\begin{array}{r}2\cdot\text{III}+5\cdot\text{I}\\-\text{III}+\text{II}\\\phantom{2\cdot\text{III}+5\cdot\text{I}}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 5 & 0 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right)\phantom{\begin{array}{r}2\cdot\text{III}+5\cdot\text{I}\\-\text{III}+\text{II}\\\phantom{2\cdot\text{III}+5\cdot\text{I}}\end{array}}$$ Vydělím řádek I číslem 5 a řádek III číslem −5: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5} \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right)$$

Ověření $A \cdot A^{-1} = I$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5} \\ -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \checkmark$$

Výsledek

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{2}{5} \\ -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Typické chyby

Úpravy se dělají vždy jako celý řádek najednou.
Při dělení řádku číslem musíš vydělit všechny prvky, včetně těch vpravo od oddělovací čáry.
Přeskočení ověření — zkoušku test vždy vyžaduje, jsou za ni body.

Maticové rovnice

„Řešte maticovou rovnici" → izoluj X, vytknout zleva nebo zprava, vynásob inverzní maticí

▶ ✓

Postup

Přesuň všechny členy obsahující $X$ na jednu stranu rovnice.
Vytknout $X$ — pozor, jestli vytýkáš zleva nebo zprava. Násobení matic není komutativní: $X \cdot A \neq A \cdot X$. Násobení skalárem komutativní je.
Vyrob inverzní matici k matici u $X$ a vynásob rovnici touto inverzní ze stejné strany (zleva nebo zprava).

Klíčové pravidlo

Pokud $X \cdot C = D$, pak $X = D \cdot C^{-1}$ (násobíme zprava).
Pokud $C \cdot X = D$, pak $X = C^{-1} \cdot D$ (násobíme zleva).

Příklad Z TESTU

Zadání

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix},\quad J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Řešte rovnici: $\;XA - J = B + 2X$

Přesunu $X$ vlevo: $XA - 2X = B + J$, vytknout $X$ zprava: $$X(A - 2J) = B + J$$

Vypočítám $C = A - 2J$ a pravou stranu: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B + J = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Rovnice $X \cdot C = \begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix}$, takže $X = \begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} \cdot C^{-1}$ (násobím zprava).
Najdu $C^{-1}$ Gauss-Jordanem: $$\left(\begin{array}{cc|cc} -1 & 2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{2\text{I}-\text{II}} \left(\begin{array}{cc|cc} -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{2\text{II}-3\text{I}} \left(\begin{array}{cc|cc} 3 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right)$$ $$C^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

Vypočítám $X$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+2 & 0-1 \\ \frac{2}{3}+\frac{2}{3} & -\frac{4}{3}-\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

Výsledek

$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ \frac{4}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix}$

Soustava rovnic přes inverzní matici

„Pomocí inverzní matice řešte soustavu" → zapiš Ax = b, najdi A⁻¹, výsledek x = A⁻¹·b

▶ ✓

Postup

Přepiš soustavu do maticového tvaru $A\vec{x} = \vec{b}$: koeficienty do matice $A$, pravé strany do vektoru $\vec{b}$.
Gauss-Jordanovou metodou najdi inverzní matici $A^{-1}$.
Řešení je $\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}$ — stačí vynásobit $A^{-1}$ vektorem pravých stran.

Příklad Z TESTU

Zadání

Pomocí inverzní matice řešte soustavu: $$-2x_1 + x_2 = 3 \qquad 3x_1 - x_2 = -4$$

Matice koeficientů a vektor pravých stran: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$$

Najdu $A^{-1}$ Gauss-Jordanem ($3\text{I}+2\text{II}$, poté $\text{I}-\text{II}$): $$\left(\begin{array}{cc|cc} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc} 0 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$$ $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Vypočítám řešení: $$\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 9-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Výsledek

$x_1 = -1, \quad x_2 = 1$

Matice — algebra