← AXIOMA_ HUB
Kuchařka · Modul 01
0 / 0 zvládnuto

Matice — soustavy lineárních rovnic

4 typy úloh: lineární kombinace, obecné řešení, homogenní soustava, diskuse parametru.
01
Lineární kombinace vektorů
„Vyjádřete vektor x jako lin. kombinaci vektorů u, v" → soustava, Gaussova eliminace, hledání koeficientů
▶
Postup
  • Zapiš vektory \(\vec{u}, \vec{v}\) jako sloupce matice a \(\vec{x}\) jako pravou stranu: $$\left(\vec{u}\;\Big|\;\vec{v}\;\Big|\;\vec{x}\right)$$
  • Proveď Gaussovu eliminaci. Poslední řádek by měl vyjít nulový — pokud ne, \(\vec{x}\) lineární kombinací není.
  • Vyřešením soustavy získáš koeficienty \(c_1, c_2\) a zapiš: \(\vec{x} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}\).
Příklad  Z TESTU
Zadání
Vyjádřete \(\vec{x} = (0;\,1;\,2)\) jako lineární kombinaci vektorů \(\vec{u} = (2;\,1;\,0)\) a \(\vec{v} = (-1;\,0;\,1)\).
1
Zapíšeme \(\vec{u}, \vec{v}\) jako sloupce, \(\vec{x}\) jako pravou stranu. Přehodíme I. a II. řádek: $$\left(\begin{array}{cc|c} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{I}\leftrightarrow\text{II}} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$
2
Eliminujeme pod I. řádkem: $$\begin{array}{r}\sim\\\text{II}-2\cdot\text{I}\\\phantom{\text{II}-2\cdot\text{I}}\end{array}\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\text{II}-2\cdot\text{I}\\\phantom{\text{II}-2\cdot\text{I}}\end{array}}$$
3
Eliminujeme pod II. řádkem: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}+\text{II}}\\\text{III}+\text{II}\end{array}\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}+\text{II}}\\\text{III}+\text{II}\end{array}}$$ Nulový řádek ✓ — \(\vec{x}\) je lineární kombinací. Z II. řádku: \(-c_2 = -2 \Rightarrow c_2 = 2\). Z I. řádku: \(c_1 = 1\).
Výsledek
\(\vec{x} = 1\cdot\vec{u} + 2\cdot\vec{v}\)
02
Soustavy rovnic — obecné řešení
„Vypočítejte obecné řešení soustavy rovnic" → pokud se během cesty objeví nulový řádek, automaticky předpokládáme, že budeme muset zvolit parametr.
▶
Postup
  • Přepiš soustavu do rozšířené matice \((A\,|\,\vec{b})\) a proveď Gaussovu eliminaci.
  • S největší pravděpodobností se jeden nebo více řádků vynuluje.
  • Výsledek: \(h\) nenulových řádků při \(m\) neznámých → počet parametrů \(p = m - h\). Jinak řečeno: počet parametrů odpovídá tomu, o kolik více je neznámých než rovnic.
  • Přepiš zpět do soustavy rovnic (dostaneš nejspíš méně rovnic než neznámých) a zvol volnou neznámou jako parametr \(t \in \mathbb{R}\). Tedy místo \(x\) dáme třeba \(t\).
  • Vyjádři zbývající neznámé pomocí zvoleného parametru \(t\).
  • Zapiš výsledek ve tvaru: \(\vec{x} = \vec{x}_0 + t\cdot\vec{d}\).
Příklad  Z TESTU
Zadání
Vypočítejte obecné řešení soustavy rovnic: $$x_1 - x_2 + 2x_3 = 0 \qquad x_1 + x_2 + x_3 = -2 \qquad -2x_1 - 3x_3 = 2$$
1
Zapíšeme do rozšířené matice a eliminujeme: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & -3 & 2 \end{array}\right) \sim \begin{array}{r}\phantom{2\text{I}+\text{III}}\\\text{II}-\text{I}\\2\text{I}+\text{III}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right)$$
2
Eliminujeme III. řádek: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}+\text{II}}\\\text{III}+\text{II}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}+\text{II}}\\\text{III}+\text{II}\end{array}}$$ \(h = 2,\; m = 3 \;\Rightarrow\; p = 1\) parametr.
3
Volíme \(x_2 = t \in \mathbb{R}\). Z II. řádku: \(2t - x_3 = -2 \;\Rightarrow\; x_3 = 2t+2\). Z I. řádku: \(x_1 = x_2 - 2x_3 = t - 4t - 4 = -3t-4\).
Výsledek
\(\vec{x} = (-4;\;0;\;2) + t\cdot(-3;\;1;\;2), \quad t \in \mathbb{R}\)
03
Homogenní soustava — netriviální řešení
„Určete hodnoty parametru, aby homogenní soustava měla netriviální řešení a stanovte řešení" → najdi parametr, pro který se vynuluje řádek
▶
Co je homogenní soustava
Homogenní soustava má na pravé straně samé nuly: \(A\vec{x} = \vec{0}\).
Triviální řešení znamená, že výsledkem soustavy je \((0;\,0;\,0;\,\ldots)\) — tedy vždy \(\vec{x} = \vec{0}\). Netriviální řešení dostaneme, když se jeden řádek vynuluje.
Postup
  • Zapiš matici soustavy a proveď Gaussovu eliminaci s parametrem.
  • Najdi hodnotu parametru, pro kterou se jeden řádek celý vynuluje.
  • Dostaneme soustavu, kde je více neznámých než rovnic, takže musíme jednu z neznámých zvolit jako parametr.
  • Vyjádři ostatní neznámé.
  • Zapiš netriviální řešení: \(\vec{x} = t\cdot\vec{d},\; t \in \mathbb{R}\).
Příklad  Z TESTU
Zadání
Určete hodnoty parametru \(\alpha\) tak, aby homogenní soustava měla netriviální řešení. Pro tuto hodnotu řešení stanovte. $$x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 \qquad 2x_1 + x_2 - x_3 = 0 \qquad x_1 - \alpha x_3 = 0$$
1
Gaussova eliminace: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -\alpha \end{pmatrix} \sim \begin{array}{r}\phantom{\text{III}-\text{I}}\\\text{II}-2\text{I}\\\text{III}-\text{I}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -7 \\ 0 & -1 & {-\alpha-3} \end{pmatrix}$$
2
Eliminujeme III. řádek: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}-\text{II}}\\\text{III}-\text{II}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4-\alpha \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}-\text{II}}\\\text{III}-\text{II}\end{array}}$$ Pro netriviální řešení: \(4 - \alpha = 0 \;\Rightarrow\; \boldsymbol{\alpha = 4}\)
3
Dosadíme \(\alpha=4\), zůstane soustava dvou rovnic: $$x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 \qquad x_2 + 7x_3 = 0$$ Volíme \(x_3 = t\): \(\;x_2 = -7t,\quad x_1 = -x_2 - 3t = 7t-3t = 4t\).
Výsledek
Pro \(\alpha = 4\):  \(\vec{x} = t\cdot(4;\;-7;\;1),\quad t \in \mathbb{R}\)
04
Soustavy rovnic — diskuse počtu řešení
„V závislosti na reálném parametru proveďte diskusi počtu řešení" → 3 případy: žádné / nekonečně / 1 řešení
▶
Postup
  • Soustava už nemusí být homogenní (nemusí mít napravo samé nuly).
  • Zapiš rozšířenou matici \((A\,|\,\vec{b})\) i s parametrem a proveď Gaussovu eliminaci.
  • V posledním (nebo předposledním) řádku vznikne výraz s parametrem. Rozlišíš tři situace:
    Poslední řádek \((0\;0\;\ldots\;0\,|\,k)\) kde \(k\neq 0\) → žádné řešení
    Poslední řádek samé nuly → nekonečně mnoho řešení (1 volná neznámá)
    Žádný nulový řádek → právě 1 řešení
  • Pro každý případ dosaď a případně řešení vypočítej.
Příklad  Z TESTU
Zadání
V závislosti na reálném parametru \(m\) proveďte diskusi počtu řešení soustavy: $$x_1 + 2x_2 + x_3 = 2 \qquad -3x_1 + mx_2 - 3x_3 = -6 \qquad 2x_1 + 4x_2 + mx_3 = -4$$
1
Rozšířená matice, eliminujeme: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ -3 & m & -3 & -6 \\ 2 & 4 & m & -4 \end{array}\right) \sim \begin{array}{r}\phantom{2\text{I}-\text{III}}\\3\text{I}+\text{II}\\2\text{I}-\text{III}\end{array}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & m+6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m-2 & -8 \end{array}\right)$$
2
Klíčový řádek je třetí: \((0\;0\;m{-2}\,|\,-8)\). Rozlišíme případy dle hodnoty \(m\).
Výsledek — diskuse
m = 2 Třetí řádek: \(0 = -8\) — žádné řešení
m = −6 Druhý řádek se vynuluje → 1 volná neznámá — nekonečně mnoho řešení
m ∈ ℝ ∖ {2; −6} Všechny řádky nenulové — právě 1 řešení
AXIOMA Economy · Kuchařka 02 · Matice — soustavy lineárních rovnic