AXIOMA · Kuchařka 01: Matice

01

Hodnost matice

„Určete hodnost matice" → Gaussova eliminace, spočítej nenulové řádky

▶ ✓

Postup

Uprav matici Gaussovou eliminací na trojúhelníkový tvar — přičítáš a odečítáš násobky řádků.
Hodnost = počet nenulových řádků v trojúhelníkovém tvaru.

Příklad Z TESTU

Zadání

Určete hodnost matice $D$, kde $$D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

1

Přičteme/odečteme násobky I. řádku od ostatních: $$\begin{array}{r}\sim\\\text{II}+\text{I}\\2\text{I}-\text{III}\\2\text{I}+\text{IV}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\text{II}+\text{I}\\2\text{I}-\text{III}\\2\text{I}+\text{IV}\end{array}}$$

2

Odstraníme II. řádek z III. a IV.: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{IV}-\text{II}}\\\text{III}-\text{II}\\\text{IV}-\text{II}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{IV}-\text{II}}\\\text{III}-\text{II}\\\text{IV}-\text{II}\end{array}}$$

3

Odstraníme III. řádek z IV.: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{IV}-2\cdot\text{III}}\\\phantom{\text{IV}-2\cdot\text{III}}\\\text{IV}-2\cdot\text{III}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{IV}-2\cdot\text{III}}\\\phantom{\text{IV}-2\cdot\text{III}}\\\text{IV}-2\cdot\text{III}\end{array}}$$

Výsledek

3 nenulové řádky → $h(D) = 3$

02

Hodnost matice s parametrem

„Určete hodnost matice vzhledem k reálnému parametru a" → najdi hodnotu parametru, pro kterou se vynuluje řádek

▶ ✓

Postup

Gaussova eliminace jako obvykle — po cestě se chovej k parametru, jako kdyby to bylo číslo.
Urči, pro kterou hodnotu parametru $a$ se celý řádek vynuluje.
Vypiš výsledky pro každý případ — např.: pro $a = 2$ je $h(B) = 2$, pro jiný parametr je $h(B) = 3$.

Příklad Z TESTU

Zadání

Určete hodnost matice $B$ vzhledem k reálnému parametru $a$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & a & 4 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$

1

Eliminujeme pod I. řádkem: $$\begin{array}{r}\sim\\2\text{I}-\text{II}\\\text{I}-\text{III}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & {-a} & 6 \\ 0 & {-1} & 5-a \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\2\text{I}-\text{II}\\\text{I}-\text{III}\end{array}}$$

2

Eliminujeme pod II. řádkem: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{II}-a\cdot\text{III}}\\\text{II}-a\cdot\text{III}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & {-a} & 6 \\ 0 & 0 & a^2 - 5a + 6 \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{II}-a\cdot\text{III}}\\\text{II}-a\cdot\text{III}\end{array}}$$

3

Kdy se III. řádek vynuluje? $$a^2 - 5a + 6 = 0 \;\Rightarrow\; (a-2)(a-3) = 0 \;\Rightarrow\; a = 2 \;\vee\; a = 3$$

Výsledek

$a = 2$ nebo $a = 3$: $h(B) = 2$
$a \in \mathbb{R} \setminus \{2;\, 3\}$: $h(B) = 3$

03

Lineární závislost vektorů s parametrem

„Stanovte hodnoty parametru tak, aby vektory byly lineárně závislé" → hledáme hodnotu parametru tak, aby hodnost matice byla menší než počet vektorů.

▶ ✓

Postup

Vektory zapiš jako řádky matice a proveď Gaussovu eliminaci.
Hledáš hodnotu parametru, pro kterou se jeden řádek vynuluje celý → hodnost klesne → vektory jsou lineárně závislé.
Výraz v posledním řádku matice polož = 0. Vyřeš tuto rovnici a máš hledaný parametr.

Dejme to do souvislostí

Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když hodnost jejich matice je menší než počet vektorů — jeden řádek je lineární kombinací ostatních, a tedy se eliminací vyruší.

Příklad Z TESTU

Zadání

Stanovte hodnoty parametru $\alpha$ tak, aby vektory $\vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w}$ byly lineárně závislé: $$\vec{u} = (1,\,0,\,2),\quad \vec{v} = (0,\,1,\,-1),\quad \vec{w} = (2,\,\alpha,\,0)$$

1

Zapíšeme vektory jako řádky a eliminujeme pod I. řádkem: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & \alpha & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{array}{r}\phantom{\text{III}-2\cdot\text{I}}\\\phantom{\text{III}-2\cdot\text{I}}\\\text{III}-2\cdot\text{I}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & \alpha & -4 \end{pmatrix}$$

2

Eliminujeme pod II. řádkem: $$\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}-\alpha\cdot\text{II}}\\\text{III}-\alpha\cdot\text{II}\end{array}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \alpha - 4 \end{pmatrix}\phantom{\begin{array}{r}\sim\\\phantom{\text{III}-\alpha\cdot\text{II}}\\\text{III}-\alpha\cdot\text{II}\end{array}}$$

3

Aby se III. řádek vynuloval (závislost): $$\alpha - 4 = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 4$$

Výsledek

Pro $\alpha = 4$ jsou vektory lineárně závislé.
Pro $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{4\}$ jsou lineárně nezávislé.

Matice — základy