AXIOMA · Kuchařka 00: Vektory

01

Co je vektor a základní operace

sčítání, odčítání, násobení skalárem — složka po složce

▶

Definice

Vektor $\vec{a}$ je uspořádaná n-tice čísel. Záleží na pořadí: $(1;\,2;\,3) \neq (3;\,2;\,1)$.

Sčítání / odčítání

$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1;\; a_2 \pm b_2;\; \ldots)$

Složka po složce. Vektory musí mít stejnou délku.

Násobení skalárem

$c \cdot \vec{a} = (ca_1;\; ca_2;\; \ldots)$

Každou složku vynásobíš číslem $c$.

Příklad — kombinace operací

Zadání

$\vec{a} = (-2;\, 3;\, -5)$, $\vec{b} = (3;\, 5;\, -4)$. Vypočti $\vec{c} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$.

1

Rozepřeme složka po složce: $$2(-2;\,3;\,-5) - 3(3;\,5;\,-4) = (-4;\,6;\,-10) - (9;\,15;\,-12)$$

2

Odečteme každou složku: $\;(-4-9;\;\; 6-15;\;\; -10+12)$

Výsledek

$\vec{c} = (-13;\; -9;\; 2)$

02

Skalární součin

výsledkem je číslo, ne vektor — součet součinů složek

▶

Definice

Skalární součin je číslo (ne vektor). Vynásobíš odpovídající složky a sečteš je.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$

Příklad

Zadání

$\vec{a} = (1;\, 2;\, 3)$, $\vec{b} = (4;\, 0;\, -1)$. Vypočti $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1

Vynásobíme složky a sečteme: $\;1{\cdot}4 + 2{\cdot}0 + 3{\cdot}(-1) = 4 + 0 - 3$

Výsledek

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

03

Nalezení vektoru ze vektorové rovnice

máš rovnici s neznámým ⃗x — upravuješ ji jako číselnou rovnici

▶

Co tě čeká

Máš rovnici s neznámým vektorem $\vec{x}$. Cíl: dostat $\vec{x}$ sám na levou stranu. Pravidla jsou stejná jako u číselných rovnic — přičítáš a odčítáš celé vektory od obou stran.

Postup krok za krokem · 4 kroky

Soustřeď $\vec{x}$ na levou stranu — přičti nebo odečti příslušný vektor od obou stran.
Vytkni $\vec{x}$ — dostaneš $k\vec{x} = \vec{w}$. Vyděl obě strany číslem $k$.
Dosaď konkrétní vektory a vyhodnoť složka po složce.
Ověř — dosaď výsledek do původní rovnice a zkontroluj obě strany.

Příklad z testu Z TESTU

Zadání

Určete $\vec{x}$ pro který platí: $\vec{x} + \vec{m} = -3\vec{x} + 2\vec{m} - \tfrac{1}{2}\vec{n}$
kde $\vec{m} = (-1;\, 2;\, -3)$, $\vec{n} = (6;\, 0;\, -4)$.

1

Přičteme $3\vec{x}$ a odečteme $\vec{m}$ od obou stran: $\;4\vec{x} = \vec{m} - \tfrac{1}{2}\vec{n}$

2

Vydělíme 4: $\;\vec{x} = \tfrac{1}{4}\vec{m} - \tfrac{1}{8}\vec{n}$

3

Dosadíme: $$\vec{x} = \tfrac{1}{4}(-1;\,2;\,-3) - \tfrac{1}{8}(6;\,0;\,-4) = \left(-1;\;\tfrac{1}{2};\;-\tfrac{1}{4}\right)$$

Výsledek

$\vec{x} = \left(-1;\;\dfrac{1}{2};\;-\dfrac{1}{4}\right)$

04

Lineární kombinace

lze vektor ⃗x sestavit z jiných vektorů? → soustava rovnic

▶

Definice

$\vec{x}$ je lineární kombinací $\vec{u}, \vec{v}, \ldots$, pokud existují čísla $c_1, c_2, \ldots$ taková, že:

$$\vec{x} = c_1 \vec{u} + c_2 \vec{v} + \cdots$$

Jak na to

Rozepíšeš rovnici $\vec{x} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}$ po složkách → každá složka dá jednu rovnici → soustava. Vyřešíš substitucí. Pokud nastane spor (např. $0 = 5$), vektor lineární kombinací není.

Postup krok za krokem · 3 kroky

Rozpiš po složkách — z $\vec{x} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}$ dostaneš soustavu rovnic.
Máš-li 3 rovnice a 2 neznámé: vyřeš z prvních dvou, třetí je zkouška.
Vyřeš soustavu — z jedné rovnice vyjádři $c_1$, dosaď do ostatních.
Ověř zkouškou — dosaď koeficienty do všech rovnic.

Pozor

Pokud při řešení dostaneš spor (např. $0 = 5$), vektor $\vec{x}$ lineární kombinací není. Správná odpověď je: „nelze vyjádřit."

Příklad z testu Z TESTU

Zadání

Vyjádřete $\vec{x} = (-3;\, 5;\, -4)$ jako lineární kombinaci $\vec{u} = (1;\, {-1};\, 3)$ a $\vec{v} = (-3;\, 9;\, 6)$.

1

Rozepíšeme $\vec{x} = c_1\vec{u} + c_2\vec{v}$ po složkách: $$-3 = c_1 - 3c_2 \qquad 5 = -c_1 + 9c_2 \qquad -4 = 3c_1 + 6c_2$$

2

Rov. 1 + rov. 2: $\;2 = 6c_2 \Rightarrow c_2 = \tfrac{1}{3}$. Dosaď do rov. 1: $c_1 = -2$.

3

Zkouška — rov. 3: $3(-2) + 6 \cdot \tfrac{1}{3} = -4 \;\checkmark$

Výsledek

$\vec{x} = -2\,\vec{u} + \dfrac{1}{3}\,\vec{v}$

05

Lineární závislost a nezávislost

lze jeden vektor sestavit z ostatních? → speciální případ lin. kombinace

▶

Přehled pojmů

Výsledek	Co to znamená
Lineárně ZÁVISLÉ $c_1\vec{u}+\cdots=\vec{0}$, ne všechna $c_i=0$	Alespoň jeden vektor lze složit z ostatních.
Lineárně NEZÁVISLÉ Jediné řešení je $c_1=c_2=\cdots=0$	Žádný vektor nelze složit z ostatních.

Postup krok za krokem · 4 kroky

Podívej se na první pohled — je jeden vektor násobkem druhého? Pokud ano → Závislé, hotovo.
Pokud není vidět: sestav soustavu z $c_1\vec{u} + c_2\vec{v} + \cdots = \vec{0}$.
Vyřeš soustavu — stejně jako v sekci 04 (lineární kombinace).
Vyhodnoť: jen $c_i=0$ → Nezávislé. Existuje jiné řešení → Závislé.

Příklad — závislost vidíme přímo

Zadání

$\vec{u} = (2;\, 1;\, 1)$, $\vec{v} = (4;\, 2;\, 2)$, $\vec{w} = (1;\, 5;\, 7)$. Jsou lineárně závislé?

1

Porovnáme: $\vec{v} = 2\vec{u}$. Vidíme přímo.

2

$2\vec{u} - \vec{v} + 0{\cdot}\vec{w} = \vec{0}$ — koeficienty nejsou všechna nulová → netriviální kombinace existuje.

Výsledek

Lineárně ZÁVISLÉ — $\vec{v}$ je dvojnásobkem $\vec{u}$.

Příklad z testu — závislost soustavou Z TESTU

Zadání

$\vec{u} = (1;\, {-3};\, 2)$, $\vec{v} = (-2;\, {-2};\, 3)$, $\vec{w} = (0;\, 8;\, {-7})$. Závislé?

1

Na první pohled nic nevidíme. Soustava $c_1\vec{u} + c_2\vec{v} + c_3\vec{w} = \vec{0}$: $$c_1 - 2c_2 = 0 \qquad -3c_1 - 2c_2 + 8c_3 = 0 \qquad 2c_1 + 3c_2 - 7c_3 = 0$$

2

Z rov. 1: $c_1 = 2c_2$. Dosaď do rov. 2: $\;c_3 = c_2$.

3

Nekonečně mnoho řešení. Např. $c_2=1$: $c_1=2,\; c_3=1$. Ověření: $2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}\;\checkmark$

Výsledek

Lineárně ZÁVISLÉ — netriviální kombinace: $2\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$.

Výsledek	Co to znamená
Lineárně ZÁVISLÉ \(c_1\vec{u}+\cdots=\vec{0}\), ne všechna \(c_i=0\)	Alespoň jeden vektor lze složit z ostatních.
Lineárně NEZÁVISLÉ Jediné řešení je \(c_1=c_2=\cdots=0\)	Žádný vektor nelze složit z ostatních.

Základy vektorové algebry